https://opthuang.github.io/zh-cn/tags/%E5%88%86%E5%BD%A2/Recent content in 分形 on 存昕的网站Hugo -- gohugo.iozh-cnSun, 01 Feb 2026 00:00:00 +0000https://opthuang.github.io/zh-cn/posts/exact-lower-bounds/Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 +0000https://opthuang.github.io/zh-cn/posts/exact-lower-bounds/论文: C. Huang and Z. Zhang. Exact lower bounds on the non-convergence probability of probabilistic direct search: distribution of a random series. 准备中, 2026. 概述 链接到标题 本文对随机级数 $$S = \sum_{k=0}^\infty Y_k \prod_{\ell=0}^{k-1} \gamma^{Y_\ell} \theta^{1-Y_\ell}$$ 的分布进行了深入分析。该级数刻画了概率直接搜索（PDS）的非收敛行为。伴随论文证明了 PDS 以正概率不收敛，而本文更进一步：刻画了失败幅度的精确分布，揭示了幂律尾、分形几何结构和精确的收敛速率。 研究动机 链接到标题 伴随论文给出了定性结果（正概率不收敛）和粗糙的下界。能否获得精确的、结构化的界？ $S$ 的分布编码了算法失败的全部信息：多大概率、偏移多远、在什么尺度上。完整理解它能将"收敛 vs. 不收敛"的二元判定转化为丰富的定量图景 主要贡献 链接到标题 尖锐相变：级数 $S$ 几乎必然收敛当且仅当 $p > p^\ast = \log\gamma / \log(\theta^{-1}\gamma)$，与 PDS 收敛理论中的临界阈值一致 幂律尾：左尾满足 $\nu((-\infty, t]) \sim t^{\log p/\log\theta} c(-\log t)$（$t \to 0$），右尾满足 $\nu((t, \infty)) \sim c_+ t^{-\alpha}$（$t \to \infty$），其中 $\alpha$ 是 $p\theta^\alpha + (1-p)\gamma^\alpha = 1$ 的唯一正解