论文: C. Huang, H. Song, J. Yang, and B. Zhou. Error analysis of finite difference scheme for american option pricing under regime-switching with jumps. J. Comput. Appl. Math., accepted for publication, 2023.

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概述 链接到标题

本文针对体制转换跳跃-扩散模型（Merton 模型和 Kou 模型）下美式期权定价问题，开发了一种高效的数值方法。该问题可以描述为具有积分项和微分项的自由边界问题或互补问题，定义在无界域上。我们提出了一种新颖的截断技术，应用复合梯形公式和有限差分格式进行离散化，并使用投影收缩方法（PCM）求解得到的线性互补问题（LCP）。

研究动机 链接到标题

经典期权定价模型面临几个局限性：

  • Black-Scholes 模型无法解释由外部因素引起的资产价格跳跃现象
  • 标准模型无法捕捉由短期政治或经济不确定性导致的期权价格周期性变化
  • 结合体制转换和跳跃扩散模型会导致一个耦合的偏积分微分方程（PIDEs）系统，无法获得闭式解

主要面临两大挑战：

  1. 问题是一个定义在无穷域上的偏积分微分方程，包含无界区域上的积分项，需要合理的截断方法
  2. 设计具有完整理论分析和高效求解方法的数值格式较为困难

主要贡献 链接到标题

  • 新颖的截断技术：通过分析不同期权之间最优执行边界的关系来局域化无穷域问题。左边界条件是精确的（基于永久美式期权的界），而右边界是放松的。

  • 高效离散化：对积分项应用复合梯形公式（确保离散积分矩阵是 Toeplitz 矩阵），对微分项应用有限差分方法，得到具有数值友好结构的 LCP。

  • 完整理论分析：证明了离散格式的稳定性、单调性和一致性，并建立了 $O(\Delta\tau + \Delta x^2)$ 阶的误差估计。

  • 高效求解器：提出了一种定制的投影收缩方法（PCM）来求解离散化 LCP，充分利用了矩阵的特殊结构。

  • 数值验证：大量实验验证了理论结果，并证明了该方法对 Merton 模型和 Kou 模型的有效性。

核心思想 链接到标题

截断策略

我们建立了原问题与两个相关问题（永久美式期权和无体制转换的标准美式期权）之间期权价格和最优执行边界的不等式关系。这使我们能够：

  • 使用永久美式期权的最优执行边界作为左截断点
  • 对右截断应用经验估计（$\ln 3K$）
  • 在左边获得精确边界条件，在右边获得零边界条件

离散化方法

  • 积分项：复合梯形公式创建 Toeplitz 结构，可以使用 FFT 加速
  • 微分项：时间方向使用后向 Euler 方法，空间二阶导数使用中心差分
  • 结果：有限维 LCP，系数矩阵 $B$ 是正定的

理论保证

  • 稳定性：解的范数在所有时间步上一致有界
  • 单调性：格式是单调的且与网格划分无关
  • 一致性：截断误差为 $O(\Delta\tau + \Delta x^2)$
  • 收敛性：数值格式收敛到粘性解

求解方法

投影收缩方法（PCM）通过以下方式高效求解每个时间步的 LCP：

  • 投影到由互补条件定义的可行域
  • 使用自适应步长的收缩步骤
  • 利用矩阵 $B$ 的结构（对称、正定、三对角块状）

本笔记正在更新中，敬请期待！